3=5 ?

Dowód: Przypuśćmy, że x = y + z,
x, y, z - dowolne liczby rzeczywiste.

Mnożę tę równość stronami przez 3 i przez 5 Mamy wówczas:
3x=3y+3z
5y+5z=5x

Dodaję stronami:
3x+5y+5z=5x+3y+3z

Odejmuję od obu stron równości 8x i otrzymuję:
-5x+5y+5z=-3x+3y+3z
     5(y+z-x)=3(y+z-x)

Po podzieleniu stronami przez wyrażenie w nawiasie otrzymujemy:
5=3
Gdzie jest błąd?

Potęga potęgi

Największa liczba zapisana za pomocą trzech cyfr to 999.
Zapisanie jej w systemie dziesiątkowym zapełniłoby 33 książki po 800 stron i 14000 cyfr na stronie.

Liczby doskonałe

Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby) to:

liczba doskonała dzielniki właściwe suma dzielników
D6 {1,2,3} 1+2+3=6
D28 {1,2,4,7,14} 1+2+4+7+14=28
D496 {1,2,4,8,16,31,62,124,248} 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496

al-Chwarizmi

Czy wiesz, że słowo "algorytm" pochodzi od imienia arabskiego matematyka al-Chwarizmi. Jego nazwisko dało początek słowu "algorism", które zostało później przekształcone na "algorytm". Słowo "algebra" także zawdzięczamy temu wybitnemu matematykowi z którego książki, napisanej w VIII wieku, ono pochodzi. al-Chwarizmi przyczynił się do rozpowszechnienia cyfr arabskich w Europie. Dzięki niemu zyskały one swoją nazwę, on to bowiem przetłumaczył indyjską książkę opisującą system dziesiętny na język arabski. Z krajów arabskich system ten rozpowszechnił się na cały świat.

Co to jest milion?

Komu by się wydawało, że wie doskonale, "co to jest milion", i że mógłby tę liczbę stosować bez żadnych trudności, ten niech spróbuje odpowiedzieć bez dłuższego namysłu, jaką grubość osiągnąłby włos ludzki, powiększony milion razy. Czy będzie równy średnicy ramienia, czy przeciętego pnia drzewa, czy może beczki ogromnych rozmiarów? Włos ludzki, powiększony milion razy będzie miał w średnicy 70 metrów! Będzie więc większy niż słynny krakowski barbakan. Nieprawdopodobne ale prawdziwe: średnia średnica włosa ludzkiego to 0,07 mm a pomnożone przez milion daje wynik 70 m. A jaką wielkość osiągnie zwykły komar jeśli powiększyć go milion razy?
Przyjmując wielkość komara na 5 mm po powiększeniu milion razy otrzymujemy: 1000000 × 5 mm = 5000000 mm = 5000 m = 5 km. Inne obiekty powiększone milion razy:

  • wieża Eiffla sięgnie Księżyca
  • milion ludzi trzymających się za ręce zajmie całe polskie wybrzeże (500 km)
  • milion kroków to podróż z Warszawy do Poznania i z powrotem
  • książka o milionie stron musiałaby mieć grubość 50 m
  • od początku naszej ery nie upłynął jeszcze milion dni (stanie się to dopiero za około 800 lat)
  • atom wodoru byłby kilkadziesiąt razy mniejszy od kropki kończącej to zdanie.

Tych kilka przykładów wystarczy aby wszystkich przekonać że liczba milion, którą teoretycznie znamy, tak naprawdę jest dla nas zupełnie nieznana. A co dopiero np. liczba 1064.

Grecki system numeryczny

W pierwszym wieku przed naszą erą rozpowszechnił się w Grecji system aleksandryjski, czyli sposób zapisywania liczb przy pomocy liter alfabetu. Liczby od l do 9 były zapisywane przy pomocy pierwszych dziewięciu liter, następne litery oznaczały dziesiątki od 10 do 90, a kolejne setki od 100 do 900 (np. a=1, b=2, itd.). Trzy dodatkowe litery musiały być dodane do alfabetu, aby wystarczyło symboli na wszystkie 27 liczb (9 na jedności, 9 na dziesiątki i 9 na setki). Wszystkie liczby nie większe niż 1000, mogły być zapisane przy pomocy nie więcej niż trzech znaków, przy czym kolejność znaków w zapisie nie miała wpływu na wartość liczby.

Gdybyśmy chcieli zapisać 14 w greckim systemie to nie użylibyśmy ad (a=1, d=4), ale musielibyśmy użyć id (i=10, bowiem jest to dziesiąta litera w alfabecie i d=4, ponieważ jest to czwarta litera w alfabecie). id i di oznaczałoby to samo: 14.
Grecki system był łatwy do zrozumienia, ale nieco trudniejszy w praktycznych obliczeniach ponieważ miał 27 symboli i zapis liczb większych niż 1000 wymagał dodatkowych modyfikacji. Mimo tych niedogodności system aleksandryjski był używany w Europie do X wieku.

Historia magicznych kwadratów

Magiczne kwadraty to liczby tak ułożone, że suma każdej kolumny i rzędu jest równa tej samej liczbie. Magiczne kwadraty mogą składać się z czterech lub więcej pól. Najpopularniejsze mają zazwyczaj 9 lub 16 pól. Magiczne kwadraty należą do najstarszych znanych łamigłówek. W Chinach i Indiach były one popularne już 2000 lat temu. W XV wieku zainteresowanie tymi łamigłówkami rozpowszechniło się z Chin do Europy. Pierwszy znany magiczny kwadrat pochodzi z Chin, ma 9 pól i sumy równe 15:

Inny znany magiczny kwadrat ma 16 pól i sumę równą 34:

Sumy kolumn, rzędów i przekątnych są równe 34. Sumy czterech mniejszych kwadratów utworzonych po podzieleniu właściwego kwadratu są także równe 34. Używając liczb od l do 9 można ułożyć 8 magicznych kwadratów o 9 polach. Czy potrafisz ułożyć magiczny kwadrat?

Liczba Π (Pi)

Matematycy od dawna starają się wyznaczyć jak najwięcej cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Π. W 1610 roku holenderski uczony Ludolf van Ceulen podał 35 cyfr po przecinku. Na jego cześć liczba Π nazywana jest czasem ludolfiną. Angielski matematyk William Shanks podał w 1874 roku 707 cyfr po przecinku. Okazał się jednak pechowcem - kilkadziesiąt lat poźniej zauważono, że popełnił błąd przy obliczaniu 528 cyfry po przecinku. Dziś za pomocą komputera można obliczyć miliony cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Π. Wszystkie znane dowody faktu, że liczba Π jest niewymierna, są bardzo skomplikowane. Pierwszy dowód podał w 1767 roku matematyk Johann Lambert. Liczba Π występuje w wielu zagadnieniach matematycznych. Pełni ona tak szczególną rolę, że uczeni, poszukując kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby Π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.

Więcej informacji o liczbie Π znajdziesz na stronie:   MATEMATYKA - I CO Z TEGO?

Jak odkryto Neptun

Od czasu gdy William Herschel odkrył planetę Uran w 1781 roku, naukowcy byli zafascynowani jej nieregularną orbitą. Pomimo wielu prób wyjaśnienia dlaczego planeta nie zachowuje się tak jak przewidywałyby prawa fizyki, nikt nie potrafił w pełni wytłumaczyć co jest przyczyną nieregularnej orbity Uranu.
Między wieloma proponowanymi wyjaśnieniami znalazło się także i przypuszczenie, że nieregularną orbitę Uranu powoduje przyciąganie nieznanej, odległej planety. Teoria ta wydawała się dosyć prawdopodobna, ale nikt nie przypuszczał, że teoretyczne obliczenia mogą ustalić pozycję i wielkość nieznanej planety. W 1843 roku młody angielski matematyk John C. Adams rozpoczął pracę nad tym problemem. Na podstawie informacji o Uranie, w 1845 roku Adams obliczył wielkość i orbitę nieznanej planety. Rok później francuski matematyk Urbain Leverrier doszedł do podobnego wniosku. Zanim naukowcy byli w stanie obserwować nową planetę przy pomocy teleskopów, dzięki matematycznym obliczeniom, jej wielkość i pozycja zostały ustalone. Obliczenia Adamsa i Leverriera umożliwiły odkrycie Neptuna, ósmej planety w układzie słonecznym, odległej od Słońca o 4495 mln km. Dzięki teoretycznym obliczeniom matematycznym, ustalono pozycję planety, co umożliwiło jej obserwację przy użyciu teleskopów.

Jak powstał system dziesiętny

Nasz system dziesiętny, którym posługujemy się na co dzień, jest znany jako system arabski lub indyjsko-arabski, od regionu świata z którego się wywodzi. System dziesiętny charakteryzuje się tym, że ma tylko dziesięć znaków oznaczających cyfry od 0 do 9. Podstawą systemu jest 10 i wartość danej cyfry w liczbie zależy od jej pozycji: np. w 555 pierwsza cyfra od prawej oznacza jedności, czyli 5, druga cyfra oznacza dziesiątki - 50, a trzecia oznacza setki - 500. Dzięki temu, że wartość cyfry zależy od jej pozycji w liczbie, każdą liczbę można zapisać przy pomocy tylko dziesięciu cyfr i przecinka. Ta właściwość spowodowała, że system dziesiętny jest używany na całym świecie.
System dziesiętny został zapoczątkowany w Indiach około 1500 lat temu. Indyjski system rozpowszechnił się w krajach arabskich dzięki arabskiemu matematykowi al-Chwarizmi, który w połowie VIII w. n.e. przetłumaczył na arabski indyjską książkę o matematyce. Po upływie niemal trzystu lat od ukazania się książki al-Chwarizmi, nowy system zaczął powoli rozpowszechniać się w Europie. Do pełnego rozwoju i popularyzacji systemu dziesiętnego przyczynił się włoski matematyk i podróżnik Leonardo Fibonacci. Fibonacci poznał system dziesiętny dzięki swym częstym podróżom do Afryki. Zafascynowany nowym systemem, w 1202 roku napisał książkę "Liber Abaci" w której tłumaczył jak używać arabskich cyfr, jak dodawać, odejmować i wykonywać inne działania w systemie dziesiętnym.
Dzięki matematykom, którzy wynaleźli i rozpowszechnili system dziesiętny, arytmetyka stała się dostępna dla wszystkich. System dziesiętny jest na tyle prosty, że każdy może się nim z łatwością posługiwać. W systemach bardziej skomplikowanych, którymi posługiwano się przed rozpowszechnieniem systemu dziesiętnego, arytmetyka była dziedziną tylko ekspertów.

Liczby pierwsze

Liczbę naturalną , która ma dokładnie dwa różne dzielniki (1 i samą siebie), nazywamy liczbą pierwszą.
Przykładami takich liczb są: 2, 3, 7, 11, 13. Liczby pierwsze są znane od bardzo dawna. Były one studiowane już przez starożytnych Greków, którzy udowodnili, że nie istnieje największa liczba pierwsza. Próbowano wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe niż N. Efektywną metodę podał Eratostenes, chciał bowiem stworzyć tablicę liczb pierwszych. W tym celu na drewnianej tablicy wypisał liczby: 2, 3, 4, ..., N. Wziął pod uwagę pierwszą z liczb i wykreślił wszystkie jej wielokrotności. Najmniejsza niewykreślona liczba to 3. Zatem 3 jest liczbą pierwszą. Następnie wykreślił wszystkie liczby podzielne przez 3 itd. W ten sposób Eratostenes wyznaczał kolejne liczby pierwsze. Aby sprawdzić, czy dana liczba N jest liczbą pierwszą, należy wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze i sprawdzić, czy dzielą one liczbę N. Jeżeli nie, to N jest liczbą pierwszą. Algorytm ten często nosi nazwę sito Eratostenesa.

Liczbami pierwszymi zajmowano się również później. Wielu uczonych próbowało znaleźć wzór który opisywałby liczby pierwsze. Leonhard Euler (1707-1783) podał następujące wzory:
1. x2 + x +1   dla x = 0, 1, ...,39
2. 2x2 + 29   dla x = 0, 1, ..., 28
Andrien Marie Legendre (1752-1833) podał wzór:
x2 + x + 17   dla x = 0, 1, ..., 16

W ostatnich latach wzrosło zainteresowanie liczbami pierwszymi, dzięki ich zastosowaniu w kryptografii - dziedzinie kodowania informacji. Niektóre algorytmy są oparte na wyniku mnożenia dwóch bardzo dużych liczb pierwszych. Ponieważ, nawet najszybszym komputerom, znalezienie użytych liczb zajęłoby kilka lat, kod jest praktycznie nie do złamania.
Największa liczba pierwsza znaleziona do 2001 roku składa się z 227.832 cyfr, jej wartość to 2756839-1 a jej zapis zajmuje 32 kartki papieru formatu A4. Była ona znaleziona w lutym 1992 roku przez superkomputer CRAY-2.
Obecnie największą znaną liczbą pierwszą jest liczba odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona i George'a Woltmana. Ma ona postać 213466917-1. Składa się ona z aż 4 milionów 53 tysięcy 946 cyfr.

Specjalne właściwości niektórych liczb

  1. W starożytnej Grecji uważano, że jeden jest symbolem jedności, rozumu i twórczości. Zarówno w Grecji jak i w Chinach traktowano jeden jednocześnie jako liczbę parzystą i nieparzystą.
  2. Starożytni Grecy uważali, że wszystkie liczby parzyste są rodzaju żeńskiego (mają cechy kobiece), a wszystkie liczby nieparzyste są rodzaju męskiego (czyli mają cechy męskie). Dwa jest pierwszą "żeńską" liczbą, w związku z tym, według starożytnych Greków jest szczególnie szczęśliwe.
  3. Liczba trzy jest szczególnie ważna w Chrześcijaństwie i w starożytnych mitologiach. Trzy jest uznawane za szczęśliwą liczbę. Grecy uważali trzy za symbol siły, ponieważ według nich jest to pierwsza "męska" liczba.
  4. W starożytnej Grecji cztery symbolizowało harmonię. Według innych antycznych kultur liczba cztery to symbol ziemii, ognia, wody i powietrza. Ogólnie cztery było uznawane za liczbę szczęśliwą.
  5. Liczba pięć symbolizowała w Grecji małżeństwo, ponieważ jest sumą pierwszej liczby "żeńskiej" (dwa) i pierwszej liczby "męskiej" (trzy).
  6. Siedem jest uznawane za liczbę szczególnie szczęśliwą i posiadającą magiczne właściwości. Tydzień ma siedem dni, gdy ktoś jest bardzo zadowolony mówimy, że jest w siódmym niebie i do niedawna myślano, że mamy siedem planet w naszym układzie słonecznym. W wielu legendach folklorystycznych siedem ma specjalne właściwości, np. siódme dziecko siódmego dziecka ma posiadać nadprzyrodzone zdolności.
  7. Liczba osiem jest uznawana za symbol mądrości.

Poza szczęśliwymi liczbami są i takie, które uznawane są za pechowe, np. liczba 13, której "pechowość" wywodzi się ze starożytnego Rzymu. Dziś niewiele osób wierzy w pechowe lub szczęśliwe liczby i to dobrze, bo zawsze jest lepiej liczyć na własne siły niż na magiczne właściwości liczb. Ci zaś którzy wolą na wszelki wypadek odpukać w niemalowane, zawsze mogą zrobić to siedem razy.

Alan Turing

Niemal każdy dziś wie jak przydatne są komputery i jakie możliwości otwierają na przyszłość. Nie każdy jednak wie skąd one się wywodzą i kto przyczynił się do rozwoju technologii komputerowej. Jednym z najwybitniejszych naukowców pracujących nad ich rozwojem był angielski matematyk Alan M. Turing (1912-1954), który w 1937 roku opisał tak zwaną Uniwersalną Maszynę Turinga, uznawaną dziś za teoretyczny prototyp komputerów. W czasie drugiej wojny światowej Turing pracował nad złamaniem sławnego niemieckiego kodu - Enigma. Ponieważ Niemcy coraz bardziej udoskonalali swój kod, Anglicy musieli budować coraz większe i bardziej skomplikowane maszyny do rozszyfrowywania przesyłanych wiadomości. W grudniu 1943 roku Turing zbudował pierwszy specjalistyczny komputer do łamania kodów, tzw. Kolos, który pracował z nieprawdopodobną wówczas prędkością. Mógł czytać około 5000 liter na sekundę i wykonywać obliczenia z prędkością około miliona działań na sekundę. Turing był zafascynowany tematem "myślących maszyn", czyli dziedziną komputerów dziś znaną jako sztuczna inteligencja. Turing jako pierwszy napisał program mogący rozegrać do końca partię szachów. Dziś jest on najbardziej znany z Testu Turinga, który sprawdza inteligencję komputerów.

Znaki działań

Powszechne dziś symbole działań matematycznych, takie jak "+" i "-" pojawiły się w matematyce dopiero w XV wieku. Po raz pierwszy zaczęto używać ich w handlu. Od kupców przejęli je matematycy, aby tymi znakami zastąpić używane wcześniej litery "p" i "m" dla oznaczenia dodawania i odejmowania. W opublikowanej w 1489 roku książce, Jahannes Widman po raz pierwszy używał znaków "+" i "-" do oznaczania działań matematycznych. Widman nie używał jednak tych symboli systematycznie, znaku "+" używał czasem jako symbolu dodawania, a czasem ogólnie w zdaniu zamiast litery "i". Systematycznie znaków "+" i "-" do oznaczania dodawania i odejmowania zaczęto używać w XVI wieku. Symbol mnożenia "x" wymyślił angielski matematyk William Oughtred na przełomie XVI i XVII wieku. W 1557 roku Robert Recorde wprowadził symbol "=" jako znak równości. Szwajcarski matematyk Johann Rahn w roku 1659 jako pierwszy zaczął używać znaku " ¸" do oznaczania dzielenia. Uproszczona forma tego znaku to po prostu ":". Fibonacci używał do oznaczania pierwiastka symbolu przypominającego literę R. Znak pierwiastka którego dziś używamy pochodzi z XVI wieku. Po raz pierwszy zaczął go używać niemiecki matematyk Christoff Rudolff.

Co to jest arytmetyka?

Arytmetyka jest nauką dobrego rachowania. Rachowanie odprawuje się dziesięcią liter, które się tak piszą i mianują:

12345 67890
jednodwatrzyczterypięć sześćsiedmośmdziewięćcyfra

Pierwsze dziewięć nazywają się liczne: dlatego że zamykają jednę albo więcej jedności: ostatnia, dziesiąta: nieliczna: gdyż sama przez się znaczy nic jedności na miejscu pierwszem; nic dziesiątków na miejscu wtórem; nic set na miejscu trzeciem; nic tysiąców na miejscu czwartem, i tak dalej. Rachowania jest pięć sposobów:

  • Liczenie albo Numeracyja.
  • Przydawanie albo Addycyja.
  • Odejmowanie albo Subtrakcyja.
  • Mnożenie albo Multyplikowanie.
  • Dzielenie albo Dywizyja.

Takiej terminologii używano w matematycznych książkach w XVII wieku. Przytoczony fragment pochodzi z książki Stanisława Solskiego pt. "Geometry polskiego zabawa o arytmetyce albo rachowaniu" wydanej w Krakowie w 1683 roku.

Jak dawniej mierzono promień Ziemi?

Pomiaru dokonał Eratostenes (ur. 276 p.n.e.). Był on, jak wielu uczonych Starożytności, człowiekiem niezwykle wszechstronnym - matematykiem, astronomem, geografem, filozofem. Współczesny Eratostenesowi Arystach z Samos głosił pogląd o kulistości Ziemi. W Egipcie znana była miejscowość, w której słońce oświetlało dno studni w samo południe. W innej miejscowości, w Aleksandrii, Eratostenes zmierzył w samo południe odchylenie promienia słonecznego od pionu. Znając odległość między tymi miejscowościami i kąt odchylenia a (w mierze łukowej), Eratostenes znalazł promień Ziemi ze wzoru:

Uzyskany wynik był zadziwiająco dobry - błąd wynosił około 20%, co - biorąc pod uwagę niedoskonałość przyrządów pomiarowych, było wynikiem bardzo dobrym.

Liczby zaprzyjaźnione

Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.

Dzielniki właściwe liczby 220 to:
D220={1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
1+ 2+ 4+ 5+ 10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55+ 110 = 284

Dzielniki właściwe liczby 284 to:
D284={1,2,4,71,142}
1+ 2+ 4+ 71+ 142 = 220

"Parszywa dwunastka"

Pewnego razu 12 bardzo uprzejmych panów spotkało się na obiedzie. Ponieważ gospodarz nie wyznaczył, gdzie który ma usiąść, zaproszeni panowie zaczeli prześcigać się w grzeczności, ustępując miejsca jeden drugiemu. Jeden z panów chcąc uprościć sprawę zaproponował losowanie; inny - był to matematyk - z tajemniczym uśmiechem nalegał na wypróbowanie wszystkich możliwych sposobów rozmieszczenia 12 osób przy jednym stole. Goście przychylili się do propozycji matematyka, ale wkrótce musieli przerwać tę zabawę wskutek wielkiego zamieszania, które przy tym powstało. Więc grzeczni panowie usiedli zwyczajnie bez niepotrzebnych ceremonii.
Po skończonym obiedzie, gdy wszyscy siedzieli przy kawie, matematyk wytłumaczył zebranym, że gdyby jedną zmianę miejsc przy stole można było wykonać w ciągu jednej sekundy i gdyby goście zmieniali zajmowane miejsca bez przerwy w ciągu dni i nocy, na tę bezsensowną grę potrzeba byłoby około 15 lat i 2 miesięcy.
Jak on to wyliczył?
Liczba wszystkich przemieszczeń 12 osób przy stole jest równa 12! (silnia)
12! = 1 * 2 * 3* 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 = 479 001 600.
Przyjmując, że jedno przemieszczenie trwa 1 sekundę mamy:
479 001 600 s = 15 lat i (około) 2 miesiące.

Symbol silnii został wprowadzony do matematyki w 1808 r.
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040 itd.